专升本中值定理及导数经济上应用(二)

发布于:2021-07-28 03:37:16

3.中值定理及导数的应用 (二) 【曲线的渐进线】 一、渐*线的定义 若曲线上的一点沿着曲线趋于无 穷远时,该点与某条直线的距离趋于 零,则称此直线为曲线的渐*线。 二、渐*线的分类 中值定理及应用 (一)、水*渐*线 如下图: y y?b y? f (x) y y? f (x) y?b 0 x 0 x 中值定理及应用 定义 若曲线 y? f (x)的定义域是无限区间 间,且有 x ??? lim f ( x) ? b 或 lim f ( x) ? b x ??? 则直线 y ? b 为曲线 y? f (x) 的渐* 线,称为 水*渐进线 中值定理及应用 例4 1 求曲线 y ? x ? 1 的水*渐*线。 1 ? lim ?0 解: x??? x ? 1 ?y ? 0 是曲线的一条水*渐*线。 y 如下图: 1 y? x ?1 0 1 x 中值定理及应用 练*题 1 ?1 的水*渐*线 求曲线 y ? x ?1 y ? ?1是曲线的一条水*渐*线 中值定理及应用 (二)、铅垂渐*线 如下图: y 0 c x 中值定理及应用 定义 若曲线 y? f (x)有 x ?c lim f ( x) ? ? 或 lim f ( x ) ? ? ? x ?c ? 则直线 x? c为曲线 y? f (x) 的一条渐 *线, 称为铅垂渐进线. 或垂直渐进 线. 中值定理及应用 例5 解: 1 求曲线 y ? 的铅垂渐*线。 x ?1 y 1 ? lim x?1? x ? 1 ? ?? 1 lim? x ?1 x ? 1 ? ?? 0 1 x ? x?1是曲线的一条铅垂 渐进线。 中值定理及应用 练*题 1 ?1 的铅直渐*线 求曲线 y ? x ?1 x ?1 是曲线的一条铅直渐*线 中值定理及应用 (三)、斜渐*线 如下图: y y? f (x) y?ax ?b 0 x ?f (x) x 中值定理及应用 定义 若 lim 成立, [ f ( x ) ? ( ax ? b )] ? 0 x ? ?? 则直线 y ? ax ? b为曲线 y? f (x) 的一条 斜渐*线. 其中 f ( x) a ? lim , b ? lim [ f ( x) ? ax] x ? ?? x x ? ?? 中值定理及应用 一般情况下, y ? ax ? b为曲线 y? f (x) 的一条渐*线.则有 x ??? lim [ f ( x) ? (ax ? b)] ? 0 或 lim [ f ( x) ? (ax ? b)] ? 0 x ??? 即 1 f ( x) b lim [ f ( x) ? (ax ? b)] ? ? lim ( ?a? ) x ??? x x??? x x f ( x) ? lim ?a ? 0 x ? ?? x 中值定理及应用 或 1 f ( x) b lim [ f ( x) ? (ax ? b)] ? ? lim ( ?a? ) x ??? x x??? x x f ( x) ? lim ?a ? 0 x ? ?? x f ( x) f ( x ) ? a ? lim 或 a ? lim x ? ?? x x ? ?? x b ? lim [ f ( x) ? ax] 或 b ? lim [ f ( x) ? ax] x ??? x ??? 中值定理及应用 例6 x2 求曲线 y ? x ? 1 的渐*线。 x (1 )、 ? lim x? ?1? x ?1 2 解: ? ?? x2 lim? x ? ?1 x ? 1 ? ?? 是曲线的一条铅垂渐进线 ? x?? 1 中值定理及应用 f ( x) x (2 ) 、 ? a? lim ? lim x?? x?? x ? 1 x ?1 x2 y? x ?1 x2 ( ? x) [f (x )?ax ]? lim b ? lim x? ? x ?1 x ? ? ?x ? lim ? ? 1 x?? x ?1 是曲线的斜渐*线. ? y?x? 1 中值定理及应用 练*题 2x2 求曲线 y ? 的渐*线 3x ? 1 1 x ? 是曲线的一条铅直渐*线 3 2 2 y ? x ? 是曲线的一条斜渐*线 3 9 中值定理及应用 解: 2x (1)、 ?lim 1 x? 3x ?1 3 2 ? ? 1 ? x ? 是曲线的一条铅垂渐进线 3 2x f ( x) 2 ? lim (2 ) 、 ? a?lim ? x?? 3x ?1 x?? x 3 2 x 2 [f (x )?ax ] ?lim ( ? x ) b ? lim x ? ? x? ?3 x? 1 3 中值定理及应用 2 2x 2 ? lim ? x?? 9x ? 3 9 2 2 ?y ? x ? 是曲线的斜渐*线. 3 9 中值定理及应用 【经济函数的弹性分析】 弹性概念是经济学中的一个重要概念, 用来定量地描述一个经济变量对另一个 经济变量变化的灵敏程度. 如: 设有A和B两种产品,其单价分别是10元 和100元.同样提价1元,虽然改变量相同, 但提价的百分数大不相同. 因此有必要 导数在经济中的应用 研究函数的相对改变量以及相对变化率, 这在经济学中称为弹性. 一、改变量 给定变量 u , 它在某处的改变量 ?u ?u称为绝对改变量, 称为相对改 变量. u 二、函数弹性 定义 对于函数 y? f (x) ,若函数的相对 导数在经济中的应用 ?y 改变量 与自变量的相对改变量 y ?y ?x y x? 0时的极 的比值 ,当? ?x x x ?y y 限lim 存在,则称该极限为函数 ?x? 0 ? x x Ey y? f (x)在点 x处的弹性,记作 Ex 导数在经济中的应用 说

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