2020版高考数学新增分大一轮讲义 *题第三章 导数及其应用 3.1 Word版含解析

发布于:2021-10-16 04:14:53

考试内容 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际问题中的应用 等级要求 §导数的概念及运算 考 情 考 向 分 析 导数的概念和运算是高考的必考内容,一般渗透在导数的应用中考查;导数的几何意义常与 解析几何中的直线交汇考查;题型为填空题或解答题的第()问,低档难度. .导数的概念 ()函数=()从到的*均变化率 函数=()从到的*均变化率为,若Δ=-,Δ=()-(),则*均变化率可表示为. ()设函数=()在区间(,)上有定义,∈(,),当Δ无限趋*于时,比值=无限趋*于一个常数 ,则称()在=处可导,并称常数为函数()在=处的导数,记作′(). .导数的几何意义 函数=()在点处的导数的几何意义,就是曲线=()在点(,())处的切线的斜率,即=′(). .基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 ()=(为常数) ()=α(α为常数) ′()= ′()=αα- ()= ′()= ()= ′()=- ()= ′()= ()=(>,≠) ′()= ()= ′()= ()=(>,≠) ′()= .导数的运算法则 若′(),′()存在,则有 ()[()±()]′=′()±′(); ()[()·()]′=′()()+()′(); ()′=(()≠). .复合函数的导数 复合函数=(())的导数和函数=(),=()的导数间的关系为′=′·′,即对的导数等于对的导 数与对的导数的乘积. 概念方法微思考 .根据′()的几何意义思考一下,′()增大,曲线()的形状有何变化? 提示′()越大,曲线()的形状越来越陡峭. .直线与曲线相切,是不是直线与曲线只有一个公共点? 提示不一定. 题组一思考辨析 .判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ()′()是函数=()在=附*的*均变化率.(×) ()′()=[()]′.(×) ()()′=·-.(×) ()若()=,则′()=.(×) 题组二教材改编 .[]若()=·,则′()=. 答案 解析∵′()=+,∴′()=. .[]曲线=-在点(-,-)处的切线方程为. 答案-+= 解析∵′=,∴′=-=. ∴所求切线方程为-+=. 题组三易错自纠 .设()=(-)+,则′()=. 答案- 解析因为′()=-- , 所以′()=-. .设函数()的导数为′(),且()=′+,则′=. 答案- 解析因为()=′+, 所以′()=′-, 所以′=′-, 即′=-,所以()=-+, ′()=--. 故′=--=-. .已知∈,设函数()=-的图象在点(,())处的切线为,则在轴上的截距为. 答案 解析∵′()=-,∴′()=-. 又∵()=,∴切线的斜率为-,且过点(,), ∴切线的方程为-=(-)(-), 即=(-)+.故在轴上的截距为. 题型一导数的计算 .已知()=,则′()=. 答案- 解析因为= =- , 所以′=′=-( )′=- . .已知()=,则′()=. 答案 解析′=′=′ =·=. .()=(+),若′()=,则=. 答案 解析′()= + +·= + , 由′()= ,得 + = ,∴=. .若()=+·′(),则′()=. 答案- 解析∵′()=+′(), ∴′()=+′(),即′()=-, ∴′()=-,∴′()=-. 思维升华 ()求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,尽量避 免不必要的商的求导法则,这样可以减少运算量,提高运算速度减少差错. ()①若函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导. ②复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时可进行换元. 题型二导数的几何意义 命题点求切线方程 例()已知函数(+)=,则曲线=()在点(,())处切线的斜率为. 答案 解析由(+)=,知()==-. ∴′()=,∴′()=. 由导数的几何意义知,所求切线的斜率=. ()已知函数()=,若直线过点(,-),并且与曲线=()相切,则直线的方程为. 答案--= 解析∵点(,-)不在曲线()=上, ∴设切点为(,).又∵′()=+, ∴直线的方程为+=(+). ∴由解得=,=. ∴直线的方程为=-,即--=. 命题点求参数的值 例 ()(· 常 州 模 拟)已知函数()=+,其中∈,若过原点且斜率为的直线与曲线=()相切,则-的值为. 答案 解析设切点坐标为(,+), 因为′()=+, 所以=+, 则切线方程为-(+)=(-). 因为切线过坐标原点, 所以-(+)=(-), 即=,所以=,所以-==. ()已知()=,()=++(<),直线与函数(),()的图象都相切,与()图象的切点为(,()),则=. 答案- 解析∵′()=,∴直线的斜率=′()=. 又()=,∴切线的方程为=-. ′()=+, 设直线与()的图象的切点为(,), 则有+=,=-,=++,<, ∴=-. 命题点导数与函数图象 例()已知函数=()及其导函数=′()的图象如图所示,则曲线=()在点处的切线方程是. 答案--= 解析由题图可知,′()=,过(),∴切线方程为=-,即--=. ()已知=()是可导函数,如图,直线=+是曲线=()在=处的切线,令()=(),′()是()的导函 数,则′()=. 答案 解析由题图可知曲线=()在=处切线的斜率等于-,∴′()=-. ∵()=(),∴′()=()+′(), ∴′()=()+′(), 又由题图可知()=, ∴′()=+×=. 思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: ()已知切点(,())求斜率,即求该点处的导数值=′(). ()若求过点(,)的切线方程,可设切点为(,),由求解即可. ()函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况. 跟踪训练()(·全国Ⅰ)已知()=,则

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