2015-2016高中数学2.1合情推理与演绎推理课时作业2新人教A版选修2-2

发布于:2021-06-20 14:14:42

课时作业(十四) 合情推理
A 组 基础巩固 1.如图,观察图形规律,在其右下角的空格处画上合适的图形,应为( )

解析:观察图中每一行,每一列的规律,从形状和是否有阴影入手.每一行,每一列中

三种图形都有,故填长方形.又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白,故选 A.

答案:A

2.观察下列各等式:2-2 4+6-6 4=2,5-5 4+3-3 4=2,7-7 4+1-1 4=2,101-0 4+--2-2 4

=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( )

n

8-n

A.n-4+(8-n)-4=2

B.(n+n+1)1-4+((nn+ +11))+ -54=2

n

n+4

C.n-4+(n+4)-4=2

D.(n+n+1)1-4+(n+n+5)5-4=2

解析:观察发现:每个等式的右边均为 2,左边是两个分数相加,分子之和等于 8,分母

中被减数与分子相同,减数都是 4,因此只有 A 正确.

答案:A

3.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱

形纹的正六边形的个数是( )

第一个图案

第二个图案

第三个图案

A.26 B.31

C.32 D.36

解析:有菱形纹的正六边形个数如下表:

图案 1 2 3 …

个数 6 11 16 …

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差

数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31.

答案:B

4.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 S=底×2 高,可推知扇形面积

公式 S 扇等于( )

r2

l2

A. 2 B. 2

lr C. 2 D.不可类比

解析:类比方法:扇形→三角形,弧长→底边长,半径→高,猜想

S

lr 扇= 2 .

答案:C

5.下面使用类比推理,得出正确结论的是( )

A.“若 a·3=b·3,则 a=b”类比推出“若 a·0=b·0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc” C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“a+c b=ac+bc(c≠0)” D.“ax·ay=ax+y”类比推出“logax·logay=loga(x+y)” 答案:C 6.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中, 圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是 __________________________________________________________________________. 解析:*面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方形→正方体,面积→体积,矩 形→长方体,圆→球. 答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和球 中,球的体积最大 7.观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 …… 照此规律,第 n 个等式可为__________________________. 解析:观察规律,等号左侧为(n+1)(n+2)…(n+n), 等号右侧分两部分,一部分是 2n,另一部分是 1×3×…×(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

8.已知

2+23=2 23, 3+38=3

(a,b∈R),则 a+b=__________.

38, 4+145=4

145,…,若

a

a

6+b=6 b

解析:根据题意,由于 2+23=2 23, 3+38=3 38, 4+145=4 145,…,那

么可知 6+ab=6 ab,a=6,b=6×6-1=35,所以 a+b=41.

答案:41

9.已知 f(x)=3x+1

,分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳 3

猜想一般性结论,并证明你的结论.

解析:f(x)=3x+1

, 3

所以 f(0)+f(1)=30+1

1 3+31+

= 3

33,

f(-1)+f(2)= 1 3-1+

1 + 3 32+

= 3

33,

f(-2)+f(3)=3-2+1

1 3+33+

3

= 3

3

.

归纳猜想一般性结论;f(-x)+f(x+1)=

3 3.

证明如下:f(-x)+f(x+1)=3-x+1

1 3+3x+1+

3

3x

1

3·3x

1

= 1+

3·3x+3x+1+

= 3

3+3x+1+3x+1+

3

3·3x+1

3·3x+1

3

= 3+3x+1 = 3(1+ 3·3x)= 3 .

B 组 能力提升 10.观察下列两个等式: ①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=34①;

②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=34.②

由上面两个等式的结构特征,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 解析:由①②知若两角差为 30°,则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.

猜想:若 β -α =30°,则 β =30°+α ,sin2α +cos2β +sinα ·cosβ =34,也可直

接写成 sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)=34.

下面进行证明: 左边=1-co2s2α +1+cos(22α +60°)+sinα cos(α +30°)



1-cos2α 2



1+cos2α cos60°-sin2α sin60° 2



sinα (cosα cos30°



sinα sin30°)

=12-12·cos2α +12+14·cos2α - 43sin2α +

43sin2α -1-c4os2α =34=右边.

故 sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)=34.

11.我们知道 12=1 22=(1+1)2=12+2×1+1, 32=(2+1)2=22+2×2+1, 42=(3+1)2=32+2×3+1,
… n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
左右两边分别相加,得 n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n 所以 1+2+3+…+(n-1)=n(n2-1). 类比上述推理方案写出求 12+22+32+…+n2 的表达式的过程. 解析:记 S1(n)=1+2+3+…+n, S2(n)=12+22+32+…+n2,…,Sk(n)=1k+2k+3k+…+nk(k∈N*).
已知 13=1, 23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1, 33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1, 43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,
… n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.
将左右两边分别相加,得

S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n. 由此知 S2(n)=n3+3n2+23n-3S1(n)=2n3+63n2+n=n(n+1)6(2n+1).


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